哈密爾頓的里奇流是定義在光滑流形上的，在計算機的表示中，所有的流形都被離散化。因此，我們需要建立一套離散里奇流理論來發(fā)展相應(yīng)的計算方法。歷經(jīng)多年的努力，筆者和合作者們建立了離散曲面的里奇曲率流理論，證明了離散解的存在性和唯一性。因為幾乎所有曲面微分幾何的重要問題，都無法繞過單值化定理。我們相信離散曲率流的計算方法必將在工程實踐中發(fā)揮越來越重要的作用 。 
圖12. 離散里奇流計算的帶邊曲面單值化。
圖8和圖12顯示了離散里奇流算出的封閉曲面和帶邊界曲面的單值化。本質(zhì)上，這兩幅圖統(tǒng)攝了現(xiàn)實生活中所有可能的曲面，它們都被共形地映到了三種標準曲面上，球面、歐氏平面和雙曲平面。這意味著，如果我們發(fā)明了一種新的幾何算法，適用于這三種標準曲面，那么這一算法也適用于所有曲面。因此，離散曲率流的技術(shù)極大地簡化了幾何算法設(shè)計。
精準醫(yī)療
龐加萊猜想所誘發(fā)的離散曲率流方法被廣泛應(yīng)用于精準醫(yī)療領(lǐng)域。人體的各種器官本質(zhì)上都是二維曲面或三維流形，曲率流方法對于這些器官幾何特征的分析和比較起到了不可替代的作用。
圖13. 虛擬腸鏡技術(shù)。
虛擬腸鏡
直腸癌是男子的第四號殺手，僅在心腦血管疾病之后。中年之后，每個人都會自然長出直腸息肉，息肉會逐年增長，如果息肉直徑達到一定尺寸，由于摩擦息肉會發(fā)生潰瘍，長期潰瘍會導(dǎo)致癌變。但是直腸息肉的生長非常緩慢， 一般從息肉出現(xiàn)直到臨界尺寸需要七八年，因此對息肉的監(jiān)控對于預(yù)防直腸癌起著至關(guān)重要的作用。中年人應(yīng)該每兩年做一次腸鏡檢查。傳統(tǒng)的腸鏡檢查方法需要對受檢者全身麻醉，將光學(xué)內(nèi)窺鏡探入直腸。老年人腸壁比較薄弱，容易產(chǎn)生并發(fā)癥。同時，腸壁上有很多皺褶，如果息肉隱藏在皺褶中，醫(yī)生會無法看到而產(chǎn)生漏檢。
近些年來，北美和日本采用了虛擬腸鏡技術(shù)。受檢者的直腸圖像由斷層掃描技術(shù)來獲取，直腸曲面可以從圖像重建出來，如圖14所示。我們需要將直腸展開攤平，從而使所有皺褶暴露出來，以便于尋找息肉和測量它們的尺寸。同時，如圖13所示，在檢查中同一受檢者的直腸被掃描兩次，每次掃描都是采用不同的姿態(tài)。直腸曲面柔軟而富有彈性，不同的掃描得到的曲面之間相差很大的彈性形變。我們需要在兩張曲面間建立光滑雙射。在兩張三維曲面間建立映射相對困難，當我們將曲面攤開展平成平面長方形后，在平面區(qū)域間計算映射會簡單很多。將直腸曲面攤開展平等價于為曲面賦上一個曲率處處為0的黎曼度量，我們可以直接應(yīng)用里奇曲率流的算法加以實現(xiàn)，如圖14所示。
圖14. 用里奇曲率流將直腸曲面攤開展平。
目前，虛擬腸鏡技術(shù)在北美和日本被廣泛采用，（但在中國還沒有普及），主要是因為這種方法可以提高安全性，降低漏檢率，降低人力成本。虛擬腸鏡技術(shù)的普及極大地提高了早期直腸癌的發(fā)現(xiàn)幾率，降低了直腸癌的死亡率，為人類的健康事業(yè)做出了巨大貢獻。
圖15. 虛擬膀胱鏡。
同樣的方法可以用于膀胱等其他器官，如圖15所示。膀胱癌的最主要特征是膀胱壁變厚，同時內(nèi)壁不再光滑，出現(xiàn)菜花狀的幾何紋理。這些癥狀可以用虛擬膀胱鏡的方法定量得到。傳統(tǒng)膀胱鏡的方法病人需要忍受很大的痛苦，虛擬膀胱鏡的方法極大地減輕了病患的疼痛，因而具有很大的優(yōu)勢。
圖16. 用里奇曲率流將大腦皮層曲面共形映到單位球面，以便于對照比較。
腦神經(jīng)疾病的預(yù)防診斷
腦退化癥（Alzheimer’s disease，俗稱老年癡呆癥），癲癇，兒童自閉癥等腦神經(jīng)疾病嚴重地威脅著人類的健康安全。對于這些疾病的預(yù)防和診斷具有重要的現(xiàn)實意義。通過核磁共振成像技術(shù)，我們能夠獲取人類的大腦皮層曲面，如圖16所示。大腦皮層曲面的幾何非常復(fù)雜，有大量的皺褶溝回結(jié)構(gòu)，并且這些幾何結(jié)構(gòu)因人而異，依隨年齡變化而變化。例如老年癡呆癥往往伴隨大腦皮層一部分區(qū)域的萎縮。為了監(jiān)控病情的發(fā)展，我們需要每隔幾個月就掃描一下病人的大腦，然后將不同時期得到的大腦皮層曲面進行精確地對比。在三維空間中直接對比難度很高，我們非常容易將不同的溝回錯誤地對齊，算法落入在局部最優(yōu)陷阱中。如圖16所示，我們將大腦皮層曲面共形地映到球面上，然后在球面之間建立光滑映射，這種方法更加簡單而精確。將大腦皮層映到球面等價于為大腦皮層曲面賦以曲率為+1的黎曼度量，我們可以用里奇曲率流的方法得到。