圖9. 共形變換保持局部形狀。
瑟斯頓幾何化猜想
為了證明龐加萊猜想，菲爾茲獎得主瑟斯頓推廣了單值化定理到三維流形情形。任何三維流形，都可以經(jīng)歷一套標準手續(xù)分解成一系列的最為簡單的三維流形，即所謂的素流形。素流形本身無法被進一步分解，同時這種分解本質(zhì)上是唯一的。瑟斯頓提出了石破天驚的幾何化猜想：所有的素三維流形可以配有標準黎曼度量，從而具有8種幾何中的一種。特別地，單連通的三維流形可被配有正的常值曲率度量，配有正的常值曲率的3維流形必為3維球面。因此龐加萊猜想是瑟斯頓幾何化猜想的一個特例。
圖10. 瑟斯頓的蘋果，幾何化猜想。
圖10顯示了瑟斯頓幾何化的一個實例。假設(shè)我們有一個蘋果，三只蛀蟲蛀蝕了三條管道，如左幀所示，這樣我們得到了一個帶邊界的三維流形。根據(jù)幾何化綱領(lǐng)，這個被蛀蝕的蘋果內(nèi)部容許一個雙曲黎曼度量，使得其邊界曲面的曲率處處為-1。我們將配有雙曲度量的蘋果周期性地嵌在三維雙曲空間之中，得到右?guī)緢D形。
哈密爾頓的里奇曲率
本質(zhì)的突破來自于哈密爾頓的里奇曲率流（Hamilton Ricci Flow）。哈密爾頓的想法來自經(jīng)典的熱力學擴散現(xiàn)象。假設(shè)我們有一只鐵皮兔子，初始時刻兔子表面的溫度分布并不均勻，依隨時間流逝，溫度漸趨一致，最后在熱平衡狀態(tài)，溫度為常數(shù)。哈密爾頓設(shè)想：如果黎曼度量依隨時間變化，度量的變化率和曲率成正比，那么曲率就像溫度一樣擴散，逐漸變得均勻，直至變成常數(shù)。如圖11所示，初始的啞鈴曲面經(jīng)由曲率流，曲率變得越來越均勻，最后變成常數(shù)，曲面變成了球面。
圖11. 曲率流使得曲率越來越均勻，直至變成常數(shù)，曲面變成球面。
在二維曲面情形，哈密爾頓和Ben Chow證明了曲率流的確將任何一個黎曼度量形變成常值曲率度量，從而給出了曲面單值化定理的一個構(gòu)造性證明。但是在三維流形情形，里奇曲率流遇到了巨大的挑戰(zhàn)。在二維曲面情形，在曲率流過程中，在任意時刻，曲面上任意一點的曲率都是有限的；在三維流形情形，在有限時間內(nèi)，流形的某一點處，曲率有可能趨向于無窮，這種情況被稱為是曲率爆破（blowup），爆破點被稱為是奇異點（singularity）。
如果發(fā)生曲率爆破，我們可以將流形沿著爆破點一切兩半，然后將每一半接著實施曲率流。如果我們能夠證明在曲率流的過程中，曲率爆破發(fā)生的次數(shù)有限，那么流形被分割成有限個子流形，每個子流形最終變成了三維球面。如果這樣，原來流形由有限個球粘合而成，因而是三維球面，這樣就證明了龐加萊猜想。由此可見，對于奇異點的精細分析成為問題的關(guān)鍵。哈密爾頓厘清了大多數(shù)種類奇異點的情況，佩雷爾曼解決了剩余的奇異點種類。同時，佩雷爾曼敏銳地洞察到哈密爾頓的里奇流是所謂熵能量的梯度流，從而將里奇流納入了變分的框架。佩雷爾曼給出了證明的關(guān)鍵思想和主要梗概，證明的細節(jié)被眾多數(shù)學家進一步補充完成。至此，瑟斯頓幾何化猜想被完全證明，龐加萊猜想歷經(jīng)百年探索，終于被徹底解決。
龐加萊猜想帶來的計算技術(shù)
龐加萊猜想本身異常抽象而枯燥：單連通的閉3-流形是三維球面，似乎沒有任何實用價值。但是為了證明龐加萊猜想，人類發(fā)展了瑟斯頓幾何化綱領(lǐng)，發(fā)明了哈密爾頓的里奇曲率流，深刻地理解了三維流形的拓撲和幾何，將奇異點的形成過程納入了數(shù)學的視野。這些基礎(chǔ)數(shù)學上的進展，必將引起工程科學和實用技術(shù)領(lǐng)域的“雪崩”。比如，里奇曲率流技術(shù)實際上給出了一種強有力的方法，使得我們可以用曲率來構(gòu)造黎曼度量。
里奇曲率流屬于非線性幾何偏微分方程，里奇流的方法實際上是典型的幾何分析方法，即用偏微分方程的技術(shù)來證明幾何問題。幾何分析由丘成桐先生創(chuàng)立，龐加萊猜想的證明是幾何分析的又一巨大勝利。當年瑟斯頓提倡用相對傳統(tǒng)的拓撲和幾何方法，例如泰西米勒理論和雙曲幾何理論來證明，也有數(shù)學家主張用相對組合的方法來證明，最終還是幾何分析的方法拔得頭籌。