圖1 龐加萊猜想電腦三維模型
中國IDC圈4月15日報道，最近英國上議院議員馬特?瑞德利（Matt Ridley）在《華爾街日報》上撰文 《基礎科學的迷思》 （The Myth of Basic Science）。他認為“科學驅動創(chuàng)新，創(chuàng)新驅動商業(yè)”這一說法基本上是錯誤的，反而是商業(yè)驅動了創(chuàng)新，創(chuàng)新驅動了科學，正如科學家被實際需求所驅動，而不是科學家驅動實際需求一樣?？傊J為“科學突破是技術進步的結果，而不是原因”。
瑞德利先生的言論反映了許多人對基礎科學的嚴重誤解，會給年輕學子們帶來思想混亂和價值觀念上的困擾，有必要加以澄清。誠然，商業(yè)需求和工程實踐會為基礎科學提供研究的素材，比如歷史上最優(yōu)傳輸理論（OptimalMass Transportation Theory）和蒙日-安培方程（Monge-Ampere）起源于土石方的運輸，最后猜想被康塔洛維奇解決，康塔洛維奇為此獲得了諾貝爾經濟學獎。數年前，為了解決醫(yī)學圖像的壓縮問題，陶哲軒提出了壓縮感知（Compressive Sensing）理論。但是，從根本上而言，基礎科學的源動力來自于科學家對于自然真理的好奇和對美學價值的追求?；A科學上的突破，因為揭示了自然界的客觀真理，往往會引發(fā)應用科學的革命。純粹數學的研究因為其晦澀抽象，實用價值并不明顯直觀，普羅大眾一直傾向于認為其“無用”。但實際上，純粹數學對應用科學的指導作用是無可替代的。
計算機科學和技術發(fā)展的一個側面就在于將人類數千年積累的知識轉換成算法，使得沒有經歷過職業(yè)訓練的人也可以直接使用最為艱深的數學理論。在拓撲和幾何領域，往往很多具有數百年歷史的定理僅僅在最近才被轉換成算法。但是，依隨計算機技術的迅猛發(fā)展，從定理到算法的過程日益加速。很多新近發(fā)展的數學理論被迅速轉換成強有力的算法，并在工程和醫(yī)療領域被廣泛應用。
歷史一再表明，以滿足人類好奇心為出發(fā)點的基礎理論研究，其本質突破往往不能引起當時人類社會的重視，宛若冰川曠谷中一聲微弱的吶喊，轉瞬間隨風消逝，但是這一聲往往會引發(fā)令天空變色，大地顫抖的雪崩。龐加萊猜想的證明就是一個鮮明的實例，雖然雪崩效應還沒有被大眾所察覺，但是雪崩已經不可逆轉地開始了！
龐加萊猜想
法國數學家龐加萊（Jules Henri Poincaré）是現(xiàn)代拓撲學的奠基人。拓撲學研究幾何體，例如流形，在連續(xù)形變下的不變性質。我們可以想象曲面由橡皮膜制成，我們對橡皮膜拉伸壓縮，扭轉蜷曲，但是不會撕破或粘聯(lián)，那么這些形變都是連續(xù)形變，或被稱之為拓撲形變，在這些形變下保持不變的量就是拓撲不變量。如果一張橡皮膜曲面經由拓撲形變得到另外一張橡皮膜曲面，則這兩張曲面具有相同的拓撲不變量，它們彼此拓撲等價。如圖2 所示，假設兔子曲面由橡皮膜做成，我們象吹氣球一樣將其膨脹成標準單位球面，因此兔子曲面和單位球面拓撲等價。
圖2. 兔子曲面可以連續(xù)形變成單位球面，因此兔子曲面和球面拓撲等價。
兔子曲面無法連續(xù)形變成輪胎的形狀，或者圖3中的任何曲面。直觀上，圖5中小貓曲面有一個“洞”，或稱“環(huán)柄”；圖3中的曲面則有兩個環(huán)柄。拓撲上，環(huán)柄被稱為虧格。虧格是最為重要的拓撲不變量。所有可定向封閉曲面依照虧格被完全分類。
圖3. 虧格為2的封閉曲面。虧格是曲面最重要的拓撲不變量。
龐加萊思考了如下深刻的問題：封閉曲面上的“洞”是曲面自身的內蘊性質，還是曲面及其嵌入的背景空間之間的相對關系？這個問題本身就是費解深奧的，我們力圖給出直觀淺近的解釋。我們人類能夠看到環(huán)柄形成的“洞”，是因為曲面是嵌入在三維歐式空間中的，因此這些“洞”反應了曲面在背景空間的嵌入方式，我們有理由猜測虧格反映了曲面和背景空間之間的關系。
圖4. 曲面上生活的螞蟻如何檢測曲面的拓撲？