圖17. 大腦海馬體的幾何分析。
如果說大腦皮層是數(shù)據(jù)庫，那么海馬體就是數(shù)據(jù)庫的索引，如圖17所示。如果海馬體發(fā)生病變，長期記憶就無法形成，同時大腦中的長期記憶也無法被取出。很多神經(jīng)疾病都能夠引起海馬體的變形，例如癲癇、吸毒、腦退化癥等等。對海馬體的幾何形狀進(jìn)行定量比較分類是非常重要的。一種精確的方法是將海馬體共形映到單位球面上，則面積的變化率給出了初始黎曼度量的全部信息，再加上平均曲率，那么海馬體的所有幾何信息被完美保留。換言之，我們將海馬體曲面轉(zhuǎn)換為球面上的兩個函數(shù)（面積變化率，平均曲率）。在球面上比較不同的海馬體曲面，從而精確衡量曲面之間的相似程度，進(jìn)行分類診斷。相比于傳統(tǒng)方法，這種基于幾何的診斷方法更加定量而精確。
圖18. 人臉曲面的精確匹配。
美容技術(shù)
在美容手術(shù)領(lǐng)域中，術(shù)后效果評估是重要的一個環(huán)節(jié)，這需要將術(shù)前和術(shù)后的人臉曲面進(jìn)行精確的匹配。如圖18所示，我們掃描了同一個人的帶有不同表情的兩張人臉曲面，然后在人臉曲面之間建立了精確的雙射。平靜表情的人臉上每一個小圓映到微笑表情的人臉上對應(yīng)的小橢圓，由此我們可以測量對應(yīng)點的幾何變化。因此，三維人臉曲面間精確映射是美容領(lǐng)域中至關(guān)重要的技術(shù)。
19. 三維人臉曲面被共形地映到二維平面上，所用方法就是里奇曲率流。
如圖19所示，我們用里奇曲率流方法，將人臉曲面的黎曼度量變成曲率為0的平直度量，將三維人臉曲面平鋪到二維平面上面，然后在二維平面區(qū)域之間建立光滑雙射，從而誘導(dǎo)三維人臉曲面間的雙射。當(dāng)然，這種方法也可以用于三維人臉識別，但是人臉識別對于映射的精確度要求沒有如此之高。
在精準(zhǔn)醫(yī)療的其他領(lǐng)域，例如牙齒整形、人造心臟瓣膜、人造骨骼、放射治療實時監(jiān)控、肝臟手術(shù)計劃等等，都需要對各種人體器官進(jìn)行影像獲取、幾何重建、特征分析等，里奇流方法都會起到重要的作用。
總結(jié)和展望
龐加萊猜想本身純粹而抽象：單連通的閉三維流形是三維球面，這一猜想本身似乎并沒有任何實用價值。其結(jié)論的簡單直觀，往往給非數(shù)學(xué)專業(yè)人員無病呻吟之感。但是純粹數(shù)學(xué)所追求的嚴(yán)密性迫使無數(shù)拓?fù)浜蛶缀螌W(xué)家們前仆后繼，奉獻(xiàn)終身，終于在眾多數(shù)學(xué)家的共同努力下完成了證明。二維曲面的幾何化定理——單值化定理從理論證明到算法提出，歷經(jīng)了百年；三維流形的瑟斯頓幾何化綱領(lǐng)從理論證明到算法提出，幾乎是同時。三維流形的拓?fù)淅碚摵陀嬎憷碚撘婚_始就深刻地糾纏在一起。這表明，在現(xiàn)代，依隨計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，純粹理論到應(yīng)用算法的開發(fā)周期越來越短。
同時，我們看到，在證明龐加萊猜想的過程中，瑟斯頓的幾何化綱領(lǐng)將三維流形的風(fēng)景一覽無遺，哈密爾頓的里奇流給出從曲率來構(gòu)造黎曼度量的強(qiáng)有力的工具，哈密爾頓和佩雷爾曼的奇點演化理論使得原來理論的禁區(qū)被徹底打破。筆者和許多數(shù)學(xué)家發(fā)展了離散里奇流的理論和算法，并且系統(tǒng)性地將曲率流應(yīng)用到許多工程和醫(yī)療領(lǐng)域。在實踐中，我們深深體會到，在許多關(guān)鍵的應(yīng)用中，曲率流的方法無法被其它任何方法所取代。目前在社會實踐中，里奇流在二維曲面上的應(yīng)用已經(jīng)開始逐步展開。但是里奇流在三維流形上的應(yīng)用更為深邃奧妙，強(qiáng)悍有力，目前還沒有任何實際應(yīng)用。一方面因為三維流形遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越日常生活經(jīng)驗，另一方面也是因為和曲面微分幾何相比，三維流形的拓?fù)浜蛶缀沃R遠(yuǎn)未普及。但是作為自然真理的忠實刻畫，遲早三維流形的拓?fù)浜蛶缀螘谏鐣嵺`中大行其道。龐加萊猜想所引發(fā)的雪崩效應(yīng)終究會改寫歷史進(jìn)程。
當(dāng)龐加萊提出他的拓?fù)洳孪耄诡D洞察三維流形的基本幾何結(jié)構(gòu)，哈密爾頓悟出里奇曲率流，佩雷爾曼看出哈密爾頓的曲率流本質(zhì)上是所謂熵能量的梯度流，他們所追求的是體悟幾何結(jié)構(gòu)的壯美，和自然真理的深邃。他們絕不會將實用價值作為其終極目的。實用技術(shù)的積累往往只能帶來進(jìn)化（Evolutio），好奇心的滿足卻能真正帶來革命（Revolution）。愿更多的年輕人在萬丈紅塵中，在浮躁喧囂中，能夠保持誠摯純真，保持強(qiáng)烈好奇，保持對自然界美麗的敏感，保持對科學(xué)真理的激情！