但是另一方面，假設(shè)有一只螞蟻?zhàn)杂咨钤谝粡埱嫔?，從未跳離過曲面，因此從未看到過曲面的整體情形。螞蟻只有二維概念，沒有三維概念。假設(shè)這只螞蟻具有高度發(fā)達(dá)的智力，那么這只螞蟻能否判斷它所生活的曲面是個虧格為0的拓?fù)淝蛎?，還是高虧格曲面？
圖5. 虧格為1的曲面上，無法縮成點(diǎn)的閉圈。
龐加萊最終悟到一個簡單而又深刻的方法來判斷曲面是否是虧格為0的拓?fù)淝蛎妫喝绻嫔纤械姆忾]曲線都能在曲面上逐漸縮成一個點(diǎn)，那么曲面必為拓?fù)淝蛎?。比如，我們考慮圖5中小貓的曲面，圍繞脖子的一條封閉曲線，在曲面上無論怎樣變形，都無法縮成一個點(diǎn)。換言之，只要曲面虧格非零，就存在不可收縮成點(diǎn)的閉圈。如果流形內(nèi)所有的封閉圈都能縮成點(diǎn)，則流形被稱為是單連通的。龐加萊將這一結(jié)果向高維推廣，提出了著名的龐加萊猜想：假設(shè)M是一個封閉的單連通三維流形，則M和三維球面拓?fù)涞葍r(jià)。
圖6. 帶邊界的三流形，用三角剖分表示。
在現(xiàn)實(shí)世界中，無法看到封閉的三維流形：正如二維封閉曲面無法在二維平面上實(shí)現(xiàn)，三維封閉流形無法在三維歐式空間中實(shí)現(xiàn)。圖6顯示了帶有邊界的三維流形，例如實(shí)心的兔子和實(shí)心的球體拓?fù)涞葍r(jià)。這些三維流形用三角剖分來表示，就是用許多四面體粘合而成。如圖所示，體的三角剖分誘導(dǎo)了其二維邊界曲面的三角剖分。實(shí)心球?qū)嶋H上是三維拓?fù)鋱A盤，我們可以將兩個三維拓?fù)鋱A盤沿著邊界粘合，就得到三維球面，恰如我們可以將兩個二維拓?fù)鋱A盤沿著邊界粘合而得到二維球面一樣。當(dāng)然，這已經(jīng)超出人們的日常生活經(jīng)驗(yàn)。
面單值化定理
近百年來，龐加萊猜想一直是拓?fù)鋵W(xué)最為基本的問題，無數(shù)拓?fù)鋵W(xué)家和幾何學(xué)家為證明龐加萊猜想而鞠躬盡瘁死而后已。相比那些最后成功的幸運(yùn)兒，眾多默默無聞，潦倒終生的失敗者更加令人肅然起敬。老顧曾經(jīng)訪問過吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，聽聞了有關(guān)何伯和教授的生平事跡。何教授終生癡迷于龐加萊猜想的證明，苦心孤詣，廢寢忘食，愈挫愈奮，九死不悔，直至生命終結(jié)，對于龐加萊猜想依然念念不忘。何教授絕對不是為了任何實(shí)用價(jià)值或者商業(yè)利益而奮斗終生的，而是為了對于自然界奧秘的好奇，對于美學(xué)價(jià)值的熱切追求，這種純粹和崇高，是人類進(jìn)步的真正動力！
圖7. 人臉曲面上連接兩點(diǎn)的測地線。
作為拓?fù)鋵W(xué)最為基本的問題，龐加萊猜想的本質(zhì)突破卻來自于幾何。給定一個拓?fù)淞餍?，如給定圖6中四面體網(wǎng)格的組合結(jié)構(gòu)，我們可以為每條邊指定一個長度，使得每個四面體都是一個歐式的四面體，這樣我們就給出了一個黎曼度量。所謂黎曼度量，就是定義在流形上的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，使得我們可以確定任意兩點(diǎn)間的最短測地線。圖7顯示了人臉曲面上的兩條測地線。黎曼度量自然誘導(dǎo)了流形的曲率。曲率是表征空間彎曲的一種精確描述。給定曲面上三個點(diǎn)，我們用測地線連接它們成一個測地三角形。如果曲面為歐幾里德平面，那么測地三角形內(nèi)角和為180度。球面測地三角形的內(nèi)角和大于180度，馬鞍面的測地三角形的內(nèi)角和小于180度。測地三角形內(nèi)角和與180度的差別就是三角形的總曲率。那么，給定一個拓?fù)淞餍?，我們能否選擇一個最為簡單的黎曼度量，使得曲率為常數(shù)呢？
圖8. 曲面單值化定理，所有封閉曲面都可以保角地形變成常曲率曲面。
這一問題的答案是肯定的，這就是曲面微分幾何中最為根本的單值化定理。單值化定理是說大千世界，各種幾何形狀千變?nèi)f化，但是無論它們?nèi)绾巫兓?，都是萬變不離其宗：所有的曲面都可以共形地變換成三種標(biāo)準(zhǔn)曲面中的一種，單位球面，歐幾里德平面和雙曲平面。標(biāo)準(zhǔn)空間對應(yīng)著常數(shù)值曲率，+1，0和-1，如圖8所示。所謂共形變換，就是保持局部形狀的變換，局部上看就是相似變換。相似變換保持角度不變，因此共形變換也被稱為是保角變換。圖9顯示了從曲面到平面的一個共形變換。單值化定理斷言了所有封閉曲面可以配有三種幾何中的一種：球面幾何，歐氏幾何和雙曲幾何。曲面微分幾何中幾乎所有的重要定理都繞不過單值化定理。