1、變分問題：有限元用于求解偏微分方程，但是偏微分方程形式多種多樣，不像常微分方程，偏微分方程現(xiàn)在連分類都尚未完全弄清楚，最基礎(chǔ)的分類為拋物線型、橢圓型、雙曲型，這是最為基本的偏微分方程，一切的求解方法都要用它們來檢驗。
直接解析求解偏微分方程有困難，我們可以變換一種思路，退一步設(shè)法得到能夠“逼近”精確解的“數(shù)值解”。為達此目的，需要首先將偏微分方程轉(zhuǎn)換為變分形式，變分形式在數(shù)學(xué)上弱化了對偏微分方程精確解的要求，這實際上是將微分形式轉(zhuǎn)化為了積分形式，能使變分達極值的函數(shù)就是偏微分方程的解。變分方程一般是積分的形式，要達到極小值，可見變分方程中的項具有“能量”含義，這樣理解有助于構(gòu)造更加廣泛意義上的變分形式。
將偏微分方程變?yōu)樽兎中问?，這是就可以應(yīng)用瑞利－里茲法、伽列金法等。這是有限單元法的基礎(chǔ)，但這是還沒有引入任何的有限單元概念。
 
2、微分方程：微分方程描述了結(jié)構(gòu)體、場的變化行為，唯物主義者認(rèn)為世界是有物質(zhì)構(gòu)成的，場也是現(xiàn)實存在，也是物質(zhì)，但是物質(zhì)在一定的初始條件下，在外部的作用下，如何變化？，變化趨勢是什么？能夠達到系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？這就需要用科學(xué)的手段并精確的描述，這也是人類認(rèn)識世界的方法，方程的功能即出于此，當(dāng)然這并不排斥其它的認(rèn)識、描述客觀物理世界的方法。

    自從牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了微積分，人類認(rèn)識并描述世界的方法發(fā)生了革命性的變化，這是一場認(rèn)識論上的革命，微分的概念將人們的認(rèn)識延伸到了無窮小，以至于在其中能將世界視為“靜止不變”的，一切變化的物理量，在這個尺度內(nèi)被“凍結(jié)”了。

    微分方程一般說來出自于自然，它是自然世界的數(shù)學(xué)抽象，更為“狹義”一些是來自與物理或者力學(xué)，當(dāng)然純數(shù)學(xué)與幾何上也有微分方程，不在此論。

    對科學(xué)研究而言，自然世界的最高的法則是能量守恒法則、能量轉(zhuǎn)換法則、能量最小法則、熱力學(xué)原理等，微分方程描述了物質(zhì)的運動規(guī)律，這種運動的規(guī)律與守恒律實際上是等價的，它是同一個問題的兩個方面。理解這一點非常重要，有時人們只關(guān)注方程的直接求解，忽略了問題的另一面，就可能束縛我們的思路。

    建立微分方程依靠特定物理問題所遵守的物理定律，比如動力學(xué)的牛頓第二定律、傳熱中傅立葉定律等，總之，微分方程是自然界物理運動規(guī)律的定量描述，它在科學(xué)的層面上是位于物理定律之后，它是科學(xué)研究的基礎(chǔ)。

    對于科學(xué)研究，有些科學(xué)家從事的是自然運動法則的發(fā)現(xiàn)，這些人大部分與實驗相關(guān)，研究實驗現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)或者驗證定律，這是真正能夠產(chǎn)生“原創(chuàng)”的工作，一個偉大的“定律”的發(fā)現(xiàn)，一定會開創(chuàng)一個新的研究領(lǐng)域。有趣的是幾乎所有的定律都是“不復(fù)雜”的，數(shù)學(xué)形式上比較簡單，這就是所謂的“簡單性”法則，這也是科學(xué)的“美”，像牛頓第二定律，愛因斯坦質(zhì)能方程等。另一部分科學(xué)家從事的是“科學(xué)定律”的“應(yīng)用”，將其拓展到未知的領(lǐng)域，描述這個領(lǐng)域內(nèi)的特定物理問題，物理定律和普遍法則相結(jié)合，如平衡法則、連續(xù)性法則、運動定律等，這就產(chǎn)生了方程，絕大部分體現(xiàn)為偏微分方程，這時數(shù)學(xué)抽象的工作就完成了，剩下的問題就是設(shè)法求解了，然而，求解并不容易，比如Ｎ體問題、Ｎ原子的薛定諤方程等等。
 
3、結(jié)構(gòu)：這里的“結(jié)構(gòu)”是指“機械結(jié)構(gòu)”，有限元方的最初需求來自于人們對復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)受力分析，像飛機機翼的強度分析等，實際上有限元方法正因此而生，但是對于桿、梁、板、殼等，人們的認(rèn)識已經(jīng)比較深入，但是如何分析大型的結(jié)構(gòu)還無成法，于是產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)的矩陣分析法，矩陣分析法所形成的方程就相當(dāng)于有限元的總體剛度方程，方程的每一項都有明確的物理意義，這個方程實際上是虎克定律在Ｎ維空間上的推廣，它是線性的。到后來建立了基于固體力學(xué)的廣義變分原理，才奠定了有限元的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。仔細想想，有限元的思想確實比較“奇妙”，要研究全局，首先要研究局部，這就是“單元”，分析單元之間的聯(lián)系，一個單元只與和它幾何相接的有關(guān)系，這就是固體力學(xué)中“圣文南”原理在離散結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。在哲學(xué)上，這樣的思維很正常，但在結(jié)構(gòu)分析上人們卻走了很長的路，當(dāng)然，這其中技術(shù)因素占卻大部分。

    結(jié)構(gòu)形式多種多樣，小到質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，大到原子反應(yīng)堆、宇宙飛船，有限元方法提供了一個統(tǒng)一的求解方案，這種方案計算的結(jié)果還可以實驗驗證，形成了完整的“證據(jù)鏈條”，在可信度上得到支持，特別是廣大的工程技術(shù)人員的支持，從而產(chǎn)生了巨大的應(yīng)用空間，經(jīng)過不斷實踐，不斷發(fā)現(xiàn)新問題，又反過來促進了方法本身的發(fā)展，比如顯式格式在沖擊問題上的應(yīng)用，ＸＦＥＭ在幾何不連續(xù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用等等。
 
4、物理場：場無所不在，概念廣泛。現(xiàn)在有限元方法一般將非機械結(jié)構(gòu)之外的場問題稱為物理場，實際上，機械上位移、應(yīng)力、應(yīng)變、速度、加速度都是場，這樣分，不外是標(biāo)稱問題不是針對機械結(jié)構(gòu)。這樣的場很多，熱結(jié)構(gòu)中溫度場、流體中的壓力速度場、聲場、電磁場、滲流場等等。這些都與物理相關(guān)，因此稱為物理場。將物理問題抽象為純數(shù)學(xué)問題，去掉變量的物理含義、單元，就變成了純數(shù)學(xué)問題，比如橢圓方程、調(diào)和方程，也可以應(yīng)用有限元方法，這時有限元方法往往更關(guān)注精度分析、收斂性分析等。
 
5、多物理場：物理場的有限元計算針對的是單一因素，比如計算溫度場計算，不關(guān)心應(yīng)力，當(dāng)然這是問題所需。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，或者人們需要更加精細的分析結(jié)構(gòu)，同時考慮所有外界因素的作用，或者將所研究系統(tǒng)的外延擴大，這樣就需要考慮不同因素的耦合作用，典型問題如：變溫產(chǎn)生應(yīng)力、壓電體中的力－電作用、流體－固體耦合作用等。這種問題可以分為兩類，一是“松耦合”，幾種因素對結(jié)構(gòu)的作用可以被完全分開，不如溫度產(chǎn)生應(yīng)力，可以先計算溫度場，應(yīng)力場是衍生計算出來，在剛度方程中表現(xiàn)為非對角線上沒有不同因素的作用項；二是“緊耦合”，表現(xiàn)在多種因素在界面上存在互相作用，因素一的計算依賴于因素二，可反之，或者結(jié)構(gòu)上同一個點的自由度包含多種類型物理量，物理量之間互相依賴，前者是擴大了系統(tǒng)的外延，后者是增加了節(jié)點的自由度。毫無疑問，這時非對角線上存在相互作用項。設(shè)法消除這中互相影響的過程稱為“解耦”，解耦靠增加自由度，或者空間變換，比如結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，將分布的、離散的空間，變換到主空間，在主空間上，各個節(jié)點互相獨立。解耦是非常復(fù)雜的，絕大部分時間是幾乎不可能的，解耦幾乎完全是數(shù)學(xué)問題，成功的解耦發(fā)現(xiàn)科學(xué)價值巨大?，F(xiàn)在，多物理場問題的求解已經(jīng)比較成熟，大量的ＣＡＥ軟件應(yīng)用即是明證，不同物理因素的互相作用的非線性因素可能是未來的發(fā)展方向，但這取決于不同物理因素之間非線性作用的物理研究、發(fā)現(xiàn)。

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